複利計算完整攻略｜計算公式、線上工具、Excel教學與投資應用 (2025最新)
複利計算完整攻略：公式、工具與投資應用指南
引言：複利的神奇力量
想像一下，100萬元投資30年後變成1000萬。
這不是天方夜譚，這就是複利的魔力。
愛因斯坦曾說：「複利是世界第八大奇蹟，理解它的人能賺到它，不理解的人只能付出代價。」
在這個投資理財越來越重要的時代，掌握複利計算已經不只是金融專業人士的專利，而是每個想要財富自由的人都該具備的基本能力。本文將帶你從零開始，完整理解複利的原理、公式、工具，以及如何應用在實際投資中。
一、什麼是複利？複利計算基礎概念
複利，簡單來說就是「利滾利」。
與單利只對本金計算利息不同，複利會將每期產生的利息加回本金，下一期再對「本金+利息」一起計算新的利息。這種滾雪球效應，讓財富在時間的累積下呈現指數成長。
複利 vs 單利：差異有多大？
讓我們用最簡單的例子來比較：
情境：本金100萬元，年利率5%，投資20年
| 計算方式 | 公式 | 20年後金額 | 獲利 |
|---|---|---|---|
| 單利 | 本金 × (1 + 利率 × 年數) | 200萬 | 100萬 |
| 複利 | 本金 × (1 + 利率)^年數 | 265.3萬 | 165.3萬 |
| 差額 | - | 多65.3萬 | 多賺65.3% |
看到了嗎？
同樣的本金、利率、時間，複利比單利多賺了65.3萬，相當於多賺65.3%！
這就是為什麼巴菲特說：「人生就像滾雪球，最重要的是找到濕的雪和長長的坡。」這裡的「濕的雪」指的是穩定的報酬率，「長長的坡」則是時間，而複利就是讓雪球越滾越大的魔法。
複利的三大關鍵要素
複利效應取決於三個核心因素：
- 本金（P）：初始投入的金額越大，複利基數越高
- 利率（r）：年化報酬率越高，成長速度越快
- 時間（n）：投資期間越長，複利威力越驚人
這三個要素缺一不可。即使本金不多，只要有穩定的報酬率和足夠的時間，複利一樣能創造驚人的財富累積效果。
二、複利計算公式完整解析
了解複利的概念後，接下來要學會如何計算。
複利計算有多種公式，適用於不同的投資情境。
2.1 基礎複利公式（一次性投入）
這是最常見的複利公式，適用於「一次投入本金，持續不動」的情境。
公式：
終值 = 本金 × (1 + 利率)^期數
FV = P × (1 + r)^n
符號說明：
- FV (Future Value) = 終值，未來的總金額
- P (Principal) = 本金，初始投入的金額
- r (rate) = 利率，以小數表示（例如5% = 0.05）
- n (number) = 期數，投資的年數（或月數、日數）
實例計算：
假設你投資50萬元，年利率6%，投資15年，最後能累積多少？
計算步驟：
1. 確認數值：P = 500,000，r = 0.06，n = 15
2. 代入公式：FV = 500,000 × (1.06)^15
3. 計算 (1.06)^15 = 2.3966
4. 結果：FV = 500,000 × 2.3966 = 1,198,279元
也就是說，50萬元在6%年利率下投資15年，會成長到約120萬元，幾乎翻倍！
2.2 定期定額複利公式（每月/每年投入）
這個公式適用於「定期定額投資」，也就是每月或每年固定投入一筆錢的情境。
公式：
終值 = 定期投入 × [((1 + r)^n - 1) / r]
FV = PMT × [((1 + r)^n - 1) / r]
符號說明：
- PMT (Payment) = 每期投入的金額
- r = 每期利率（若為年利率需除以12轉換為月利率）
- n = 總期數（若投資20年、每月投入，則n = 20×12 = 240）
實例計算：
假設你每月投入1萬元，年利率8%（月利率 = 8%/12 = 0.667%），投資20年，最後能累積多少？
計算步驟：
1. 確認數值：PMT = 10,000，r = 0.08/12 = 0.00667，n = 20×12 = 240
2. 代入公式：FV = 10,000 × [((1.00667)^240 - 1) / 0.00667]
3. 計算 (1.00667)^240 = 4.9268
4. 計算 (4.9268 - 1) / 0.00667 = 588.73
5. 結果：FV = 10,000 × 588.73 = 5,887,300元
驚人！每月投入1萬、持續20年，本金只投入了240萬（1萬×240個月），但透過複利效果，最終累積接近590萬元，複利獲利高達348萬元！
這就是定期定額投資的威力。如果你想深入了解定期定額投資的各種策略、最佳投入時機和進階技巧，可以參考定期定額複利計算完全指南，其中包含更詳細的實戰案例和投資組合配置建議。
2.3 複利現值公式（反推本金需求）
這個公式用於「反推計算」：如果我想要在未來某個時間點達到某個金額目標，現在需要投入多少本金？
公式：
現值 = 終值 / (1 + r)^n
PV = FV / (1 + r)^n
適用場景：
- 退休金規劃：30年後要3000萬退休金，現在需要多少本金？
- 子女教育金：15年後要200萬教育金，現在該準備多少？
- 購屋頭期款：10年後要300萬頭期款，現在需要投入多少？
實例計算：
假設你希望20年後有1000萬元退休金，假設年化報酬率7%，現在需要一次投入多少本金？
計算步驟：
1. 確認數值：FV = 10,000,000，r = 0.07，n = 20
2. 代入公式：PV = 10,000,000 / (1.07)^20
3. 計算 (1.07)^20 = 3.8697
4. 結果：PV = 10,000,000 / 3.8697 = 2,584,190元
也就是說，只要現在投入約258萬，20年後就能變成1000萬。如果你無法一次投入這麼多，也可以改用定期定額方式。
2.4 不同計息頻率的複利計算
在實際應用中，利息計算頻率可能不同：有的是年複利，有的是月複利、甚至日複利。
公式：
終值 = 本金 × (1 + r/m)^(m×n)
FV = P × (1 + r/m)^(m×n)
符號說明：
- m = 每年複利次數（年複利m=1、季複利m=4、月複利m=12、日複利m=365）
比較表：同樣年利率6%，100萬本金投資10年
| 計息頻率 | 公式 | 最終金額 |
|---|---|---|
| 年複利 (m=1) | 100萬 × (1.06)^10 | 179.08萬 |
| 季複利 (m=4) | 100萬 × (1.015)^40 | 181.40萬 |
| 月複利 (m=12) | 100萬 × (1.005)^120 | 181.94萬 |
| 日複利 (m=365) | 100萬 × (1 + 0.06/365)^3650 | 182.19萬 |
可以看到，計息頻率越高，最終金額略高一些，但差異不算太大。在實際投資中，除非本金非常龐大，否則這個差異影響有限。
三、複利計算工具使用指南
理論學會了，但手動計算複利公式其實蠻麻煩的，尤其是計算次方值。
好消息是，現在有很多免費工具可以幫你快速計算複利，從線上工具、實體計算機到Excel，應有盡有。
3.1 線上複利計算機推薦
最快速、最方便的方式就是使用線上複利計算機。
Tool Master 複利計算器（強力推薦）
Tool Master 複利計算器 是一款100%免費、無需註冊的線上工具，提供三大計算模式：
功能特色：
- ✅ 一次性投入計算：輸入本金、利率、年數，立即算出終值
- ✅ 定期定額計算：支援每月/每年投入，精準試算長期投資成果
- ✅ 複利現值計算：反推需要的本金金額
- ✅ 100%本地計算：所有數據在瀏覽器本地處理，保護隱私
- ✅ 雙語介面：繁體中文+英文即時切換
- ✅ 即時圖表顯示：視覺化呈現複利成長曲線
使用步驟：
1. 打開 複利計算器
2. 選擇計算模式（一次性投入 / 定期定額 / 現值計算）
3. 輸入本金、利率、年數等參數
4. 點擊「計算」按鈕
5. 立即查看結果與成長曲線圖
完全免費，資料在瀏覽器本地處理，不會上傳到伺服器，保護你的隱私。想了解更多不同複利計算工具的評比、功能比較和選擇建議，可以閱讀複利計算機推薦完全指南，幫助你找到最適合自己需求的計算工具。
3.2 實體計算機按法教學
如果你手邊只有一般計算機或工程計算機，也能計算複利，只是步驟稍微複雜一些。
方法一：一般計算機重複按等號法
適用於沒有次方鍵的基本計算機。
原理： (1+r) × (1+r) × (1+r) × ... 重複n次
步驟（以100萬、年利率5%、10年為例）：
1. 輸入 1.05（代表1+利率）
2. 按 ×
3. 按 = 鍵，重複按9次（總共10次）
4. 最後再按 × 1000000 =
5. 得到結果：1,628,894元
缺點： 期數太長時容易按錯，而且無法處理定期定額的複雜公式。
方法二：工程計算機次方鍵法
如果你有工程計算機（有 x^y 鍵），計算就簡單多了。
步驟（以100萬、年利率5%、10年為例）：
1. 輸入 1.05
2. 按 x^y 鍵（或 ^ 鍵）
3. 輸入 10
4. 按 =，得到 1.62889
5. 按 × 1000000 =
6. 得到結果：1,628,894元
方法三：財務計算機專業按法
專業的財務計算機（如 HP 12C、TI BA II Plus）有內建的財務函數，可以直接計算複利。
按鍵說明：
- PV（Present Value）：現值，本金
- FV（Future Value）：終值，未來金額
- N：期數
- I/Y（Interest per Year）：年利率
- PMT（Payment）：定期投入金額
計算步驟（一次性投入，100萬、年利率5%、10年）：
1. 輸入 -1000000，按 PV（本金輸入為負數）
2. 輸入 5，按 I/Y
3. 輸入 10，按 N
4. 按 FV
5. 得到結果：1,628,894元
3.3 Excel複利計算教學
Excel是最強大的複利計算工具，不僅能計算單筆案例，還能建立動態試算表、繪製圖表。
方法一：手動公式（最靈活）
直接用Excel公式計算複利。
公式：
=本金*(1+利率)^期數
範例：
=1000000*(1+5%)^10
結果：1,628,894元
方法二：FV函數（一次性投入）
Excel內建的FV（Future Value）函數可以直接計算終值。
語法：
=FV(利率, 期數, 定期投入, -本金, 類型)
參數說明：
- 利率：每期利率（年利率除以12就是月利率）
- 期數：總期數
- 定期投入：每期投入金額（若無則填0）
- -本金：初始本金（要加負號）
- 類型：0=期末投入，1=期初投入（通常填0）
範例（一次性投入）：
=FV(5%, 10, 0, -1000000, 0)
結果：1,628,894元
方法三：FV函數（定期定額）
如果是每月定期投入，公式稍有不同。
範例（每月投入1萬、年利率8%、20年）：
=FV(8%/12, 20*12, -10000, 0, 0)
結果：5,887,303元
說明：
- 8%/12：將年利率轉換為月利率
- 20*12：20年共240個月
- -10000：每月投入1萬（加負號）
- 0：無初始本金
- 0：期末投入
如果你想進一步掌握Excel的進階功能，包含動態試算表建立、複利圖表製作、多情境比較分析等實務技巧，建議閱讀Excel複利計算教學與實戰應用，其中包含完整的Excel模板下載和實務案例解析。
方法四：PV函數（現值計算）
如果要反推本金，使用PV（Present Value）函數。
語法：
=PV(利率, 期數, 定期投入, -終值, 類型)
範例（20年後要1000萬，年利率7%，現在需要多少本金）：
=PV(7%, 20, 0, -10000000, 0)
結果：-2,584,190元（取絕對值即258萬）
3.4 複利計算App推薦
如果你想隨時用手機試算，也有不少免費的複利計算App。
iOS/Android App推薦：
- 複利計算器 Pro（iOS/Android）
- 評分：4.5星
- 特色：圖表視覺化、多方案比較
-
費用：免費（有廣告）
-
投資計算機（iOS）
- 評分：4.7星
- 特色：整合股票/ETF/基金計算
-
費用：免費
-
理財計算器（Android）
- 評分：4.3星
- 特色：貸款/投資/退休一站式
- 費用：免費
選擇建議：
- 快速試算 → 線上計算機（Tool Master 複利計算器）
- 深度規劃 → Excel模板
- 隨時查看 → 手機App
- 專業理財 → 財務計算機
🎯 推薦工具組合
處理複利計算時，這些工具能大幅提升效率：
| 工具 | 用途 | 特色 |
|---|---|---|
| 複利計算器 | 快速試算投資報酬 | 100%本地計算、隱私保護 |
| 貸款計算器 | 房貸車貸試算 | 本息攤還計算 |
| BMI計算器 | 健康管理 | 精準健康評估 |
💡 小提示：所有工具完全免費，資料在瀏覽器本地處理，保護你的隱私。
四、複利計算實戰應用場景
學會了公式和工具，接下來要看看如何應用在實際的投資理財中。
4.1 投資理財應用
4.1.1 股票投資複利計算
假設你投資台積電，初始投入100萬，假設年化報酬率8%（包含股價成長和股息），並且把每年的股息再投入買進更多股票，持續30年會變成多少？
計算：
FV = 100萬 × (1.08)^30 = 1,006萬
30年後，100萬變成超過1000萬，翻了10倍！
這就是「配息再投資」的威力。如果你每年把股息領出來花掉，就只能享受單利效果，無法發揮複利的最大威力。
4.1.2 ETF定期定額投資
台灣最熱門的投資方式之一，就是定期定額買0050（元大台灣50 ETF）。
假設你每月投入1萬元，假設年化報酬率7%（0050近20年平均報酬率約7-8%），投資25年會變成多少？
計算：
FV = 10,000 × [((1 + 0.07/12)^(25×12) - 1) / (0.07/12)]
FV = 10,000 × 811.09 = 8,110,900元
每月1萬、持續25年，本金投入300萬（1萬×12×25），最終累積超過810萬，複利獲利超過510萬！
4.1.3 存股複利策略
存股族最愛的高股息ETF（如0056、00878），透過股利再投資同樣能發揮複利效果。
假設你投資00878，初始100萬，假設股息殖利率6%、每年配息再投入，持續20年：
計算：
FV = 100萬 × (1.06)^20 = 320萬
想深入了解股票和ETF的複利投資策略，包含0050、0056、00878等熱門標的的詳細分析、配息再投資策略、以及如何挑選適合長期複利成長的ETF，可以參考股票ETF複利計算完全攻略，內含完整的投資組合配置建議和實戰案例。
4.1.4 儲蓄險複利計算
儲蓄險號稱有複利效果，但實際報酬率通常偏低。
假設你買一張6年期儲蓄險，宣告利率2.5%，一次繳費100萬：
計算：
FV = 100萬 × (1.025)^6 = 116萬
6年只賺16萬，平均年化報酬率2.5%。相比之下，投資0050的7%報酬率明顯更吸引人。當然，儲蓄險的優勢在於保本和強迫儲蓄，適合保守型投資人。
4.2 貸款債務計算
複利不只用於投資，也適用於貸款計算——只不過這次是你付出利息給銀行。
房貸複利計算
假設你貸款1000萬買房，利率2%，貸款30年，採本息攤還，總共要還多少？
這個計算比較複雜，需要用到貸款計算公式。簡單來說，30年下來你總共要還約1,331萬，其中本金1000萬，利息331萬。
這331萬就是複利效應的負面影響——你不僅對本金付利息，還對未還清的利息再付利息。
信用卡循環利息陷阱
更可怕的是信用卡循環利息，年利率通常高達10-15%，而且是日複利計算。
假設你欠10萬元，年利率15%，每月只繳最低應繳（10%），如果不再消費，需要多久才能還清？
答案是：14年！而且總還款金額約19萬，多付了9萬元利息。
這就是為什麼理財專家都說：「信用卡費一定要全額繳清，絕對不要使用循環信用。」
提前還款節省利息試算
如果你有閒錢，提前還房貸能省下不少利息。
假設你房貸剩20年、利率2%、本金500萬，如果現在提前還10萬：
節省利息：
約省下 13萬元利息
所以有閒錢時，提前還高利率債務（如信用卡、車貸）是非常明智的選擇。如果你想更深入了解房貸、車貸、信貸的複利計算原理、提前還款策略、以及如何評估不同貸款方案的實際成本，建議閱讀貸款複利計算完全指南，內含各種貸款情境的詳細試算和省息技巧。
4.3 退休金規劃
複利計算最重要的應用之一，就是退休金規劃。
反推本金：60歲要3000萬，30歲需要多少本金？
假設你現在30歲，希望60歲退休時有3000萬，假設年化報酬率7%，現在需要投入多少本金？
計算：
PV = 3000萬 / (1.07)^30 = 394萬
也就是說，只要現在一次投入394萬，30年後就能變成3000萬。
定期定額退休金累積
如果你無法一次投入這麼多，也可以改用定期定額。
假設你每月投入2萬元，年利率7%，投資30年：
計算：
FV = 20,000 × [((1 + 0.07/12)^(30×12) - 1) / (0.07/12)]
FV = 20,000 × 1219.97 = 2,439萬
每月2萬、持續30年，本金投入720萬（2萬×12×30），最終累積接近2440萬，已經很接近3000萬的目標了。
如果你想達到3000萬，只需要每月投入約2.5萬即可。
不同年齡開始投資的差異
| 開始年齡 | 投資年數 | 每月投入 | 總投入本金 | 60歲累積金額 |
|---|---|---|---|---|
| 25歲 | 35年 | 1.5萬 | 630萬 | 3,010萬 |
| 30歲 | 30年 | 2.5萬 | 900萬 | 3,050萬 |
| 35歲 | 25年 | 4萬 | 1,200萬 | 3,040萬 |
| 40歲 | 20年 | 6.5萬 | 1,560萬 | 3,030萬 |
結論：越早開始，需要的每月投入金額越少！
這就是為什麼理財專家都說：「投資要趁早」。時間是複利最好的朋友。
五、複利計算常見問題與陷阱
複利雖然強大，但實際應用時也有一些需要注意的陷阱。
5.1 複利計算的常見錯誤
錯誤1：忽略通膨因素
很多人計算複利時只看名目報酬率，忽略了通貨膨脹。
假設你投資年報酬率5%，但同期通膨率2%，那麼你的實質報酬率只有約3%。
公式：
實質報酬率 ≈ 名目報酬率 - 通膨率
所以在規劃退休金時，要考慮通膨因素，否則30年後的3000萬可能只相當於現在的1500萬購買力。
錯誤2：假設固定報酬率
在試算時，我們通常假設每年都有固定的報酬率（如7%），但實際投資中報酬率會有波動。
例如股市可能某年漲20%、某年跌10%，平均下來才接近7%。這種波動會影響複利效果，尤其在投資初期遇到大跌時，對長期報酬影響較大。
錯誤3：未考慮稅負成本
在台灣，股票股息要課徵綜合所得稅（或選擇28%分離課稅），ETF配息也是。
這些稅負會降低你的實際報酬率，進而影響複利效果。
錯誤4：混淆名目利率與實質利率
銀行貸款的「名目利率」和實際負擔的「實質利率」可能不同，尤其是有手續費、開辦費等額外成本時。
計算複利時，要用實際負擔的總成本來計算，才準確。
5.2 投資風險提醒
複利的前提：穩定正報酬
複利的威力建立在「每年都有正報酬」的前提上。
如果你的投資虧損，複利效應會反過來加速虧損。例如本金100萬、第一年虧10%變90萬、第二年再虧10%變81萬，兩年虧損19%（而非20%）。
波動率對複利的影響
即使平均報酬率相同，波動率越大的投資，長期複利效果越差。
範例：
| 投資A（低波動） | 投資B（高波動） |
|---|---|
| 第1年 +10% | 第1年 +30% |
| 第2年 +10% | 第2年 -10% |
| 平均報酬 10% | 平均報酬 10% |
| 實際2年報酬 | 實際2年報酬 |
| 121萬（+21%） | 117萬（+17%） |
看到了嗎？平均報酬率相同，但低波動的投資A最終金額更高。
這就是為什麼分散投資、降低波動很重要。
不要過度樂觀估計報酬率
很多人做試算時，會假設年報酬率10%、甚至15%，但實際上能長期穩定達到7-8%已經很不錯了。
實際參考數據：
- 台灣0050 ETF：近20年年化報酬約7-8%
- 美國S&P 500：近100年年化報酬約10%（含股息再投入）
- 台灣定存：目前約1.5%
建議使用保守的報酬率假設，例如5-7%，避免過度樂觀。
分散風險的重要性
不要把所有雞蛋放在同一個籃子裡。
即使某個投資過去報酬率很高，也可能因為產業變化、政策改變而大幅下跌。分散投資於不同資產類別（股票、債券、房地產等），可以降低整體投資組合的波動，讓複利效果更穩定。
六、複利計算進階知識
如果你想更深入了解複利，以下進階知識值得一讀。
6.1 連續複利計算
在極端情況下，如果複利頻率趨近無限大（每秒、甚至每毫秒計息），就會形成「連續複利」。
公式：
FV = P × e^(r×n)
其中 e ≈ 2.71828（自然對數的底數）
應用場景：
- 高頻交易
- 量化金融模型
- 理論財務分析
對一般投資人來說，連續複利的實際應用較少，主要用於學術研究或專業金融工程。
6.2 複利與等比數列的關係
從數學角度來看，複利本質上就是等比數列。
等比數列：
- 首項：a = 本金
- 公比：r = (1 + 利率)
- 第n項：a × r^(n-1)
- 前n項和：a × (r^n - 1) / (r - 1)
這就是為什麼高中數學學過等比數列後，理解複利公式會非常容易。
6.3 72法則快速估算
「72法則」是一個簡單好記的心算技巧，可以快速估算本金翻倍需要的時間。
公式：
翻倍時間（年） ≈ 72 / 年利率（%）
實例：
| 年利率 | 翻倍時間 | 實際翻倍時間（精確計算） |
|---|---|---|
| 3% | 72/3 = 24年 | 23.4年 |
| 6% | 72/6 = 12年 | 11.9年 |
| 8% | 72/8 = 9年 | 9.0年 |
| 10% | 72/10 = 7.2年 | 7.3年 |
| 12% | 72/12 = 6年 | 6.1年 |
可以看到，72法則的估算非常接近實際值！
延伸：
- 115法則：本金變3倍的時間 ≈ 115 / 年利率
- 144法則：本金變4倍的時間 ≈ 144 / 年利率
72法則還有更多實用技巧和應用場景，包含如何用72法則快速評估投資方案、計算通膨影響、以及判斷何時該調整投資策略等進階應用，詳細內容請參考複利72法則完全指南。
6.4 對數與複利計算
如果要反推期數（例如：要多少年才能達到目標金額？），需要用到對數。
公式：
n = log(FV/PV) / log(1+r)
實例：本金翻3倍需要多少年？（年利率7%）
計算：
n = log(3) / log(1.07)
n = 0.4771 / 0.0294
n ≈ 16.2年
也就是說，在7%年利率下，大約16.2年本金可以翻3倍。
七、複利計算常見問題 FAQ
Q1. 複利計算機怎麼按？
複利計算機按法分為三種：
1. 線上計算機（最簡單）
推薦使用 Tool Master 複利計算器
操作步驟：
1. 打開複利計算器
2. 選擇計算模式（一次性投入 / 定期定額 / 現值計算）
3. 輸入本金、利率、期數
4. 點擊「計算」按鈕
5. 查看結果
完全免費，資料在瀏覽器本地處理，保護你的隱私。
2. 實體一般計算機
公式： 本金 × (1 + 利率/100) = = = ... (重複按=鍵n次)
範例： 10萬本金、年利率5%、10年
按法：
100000 × 1.05 = = = = = = = = = = (共按10次=)
結果：162,889元
3. 工程計算機
使用次方鍵： 本金 × (1.利率) x^y 期數 =
範例：
100000 × 1.05 x^y 10 =
結果：162,889元
Q2. 如何用Excel計算複利？
Excel提供三種複利計算方法：
方法一：手動公式（最靈活）
=本金*(1+利率)^期數
範例：=100000*(1+5%)^10
結果：162,889元
方法二：FV函數（一次性投入）
=FV(利率, 期數, 0, -本金, 0)
範例：=FV(5%, 10, 0, -100000, 0)
結果：162,889元
方法三：FV函數（定期定額）
=FV(利率/12, 期數*12, -月投入, 0, 0)
範例：=FV(5%/12, 10*12, -10000, 0, 0)
結果：1,552,823元
Q3. 複利計算公式是什麼？
複利計算有三大核心公式：
公式1：終值計算（已知本金，求未來價值）
終值 = 本金 × (1 + 利率)^期數
FV = P × (1 + r)^n
公式2：定期定額終值
終值 = 定期投入 × [((1 + r)^n - 1) / r]
FV = PMT × [((1 + r)^n - 1) / r]
公式3：現值計算（已知目標金額，反推現在需要多少本金）
現值 = 終值 / (1 + r)^n
PV = FV / (1 + r)^n
符號說明：
- FV = 終值（Future Value）
- PV = 現值（Present Value）
- P = 本金
- r = 利率（小數形式，如5% = 0.05）
- n = 期數（年/月/日）
- PMT = 定期投入金額
Q4. 複利計算適用於哪些投資？
複利計算廣泛應用於以下投資工具：
✅ 適用場景：
1. 股票投資
- 配息再投資產生複利效果
- 長期持有成長股
- 實例：0050 ETF年化報酬約7-8%
2. ETF定期定額
- 市值型ETF（0050、VT、VOO）
- 高股息ETF（0056、00878）
- 配息自動再投入創造複利
3. 定存/儲蓄險
- 定存到期本息續存
- 儲蓄險的複利累積
- （注意：實際利率通常較低）
4. 基金定期定額
- 配息選擇再投入
- 長期扣款累積單位數
5. 債券投資
- 債息再投資
- 複利債券（Zero-coupon bonds）
⚠️ 使用注意事項：
- 複利需要「穩定正報酬」前提
- 不要假設固定報酬率（實際有波動）
- 考慮稅負、手續費等成本
Q5. 複利和單利有什麼差別？
單利與複利的核心差異在於「利息是否再生利息」：
| 比較項目 | 單利 | 複利 |
|---|---|---|
| 計息方式 | 只對本金計息 | 本金+利息一起計息 |
| 公式 | 終值 = 本金×(1+利率×期數) | 終值 = 本金×(1+利率)^期數 |
| 增長速度 | 線性增長 | 指數增長 |
| 適用場景 | 定存單利、短期借貸 | 長期投資、貸款 |
實例比較（本金100萬、年利率5%、20年）：
- 單利：100萬 + (100萬×5%×20年) = 200萬
- 複利：100萬 × (1.05)^20 = 265.3萬
- 差額：65.3萬（多賺32.6%）
關鍵結論：投資期間越長，複利效果越驚人！
Q6. 定期定額複利怎麼算？
定期定額複利計算使用「年金終值公式」：
公式：
終值 = 定期投入 × [((1 + r)^n - 1) / r]
FV = PMT × [((1 + r)^n - 1) / r]
實例1：每月投入1萬元
條件： 月投入1萬、年利率6%（月利率0.5%）、投資20年
計算：
- r = 6%/12 = 0.5% = 0.005
- n = 20年×12月 = 240期
- FV = 10,000 × [((1.005)^240 - 1) / 0.005]
- 結果：約462萬元
- 本金投入：10,000×240 = 240萬
- 複利獲利：462萬 - 240萬 = 222萬（翻近一倍！）
實例2：每年投入10萬元
條件： 年投入10萬、年利率8%、投資30年
計算：
- FV = 100,000 × [((1.08)^30 - 1) / 0.08]
- 結果：約1132萬元
- 本金投入：100,000×30 = 300萬
- 複利獲利：1132萬 - 300萬 = 832萬（接近3倍！）
快速試算工具：
- 定期定額複利計算機
關鍵心法：及早開始、持續投入、長期堅持！
Q7. 複利現值怎麼算？
複利現值計算是「反推本金」，用於退休規劃或目標儲蓄：
公式：
現值 = 終值 / (1 + 利率)^期數
PV = FV / (1 + r)^n
應用場景1：退休金規劃
目標： 30年後要3000萬退休金
假設： 年化報酬率7%
計算：
- PV = 30,000,000 / (1.07)^30
- 結果：現在需要394萬本金
- 若無法一次投入，可改用定期定額
應用場景2：子女教育金
目標： 15年後要200萬教育金
假設： 年化報酬率5%
計算：
- PV = 2,000,000 / (1.05)^15
- 結果：現在需要96萬本金
應用場景3：購屋頭期款
目標： 10年後要300萬頭期款
假設： 年化報酬率6%
計算：
- PV = 3,000,000 / (1.06)^10
- 結果：現在需要167萬本金
Q8. 複利計算表怎麼做？
複利計算表可用Excel快速建立：
方法一：簡易複利表
A欄：年度（1, 2, 3, ...）
B欄：本金（第1年輸入初始本金，第2年起 =B1*(1+利率)）
C欄：利息（=B欄*利率）
D欄：累積總額（=B欄+C欄）
方法二：定期定額複利表
A欄：期數
B欄：本期投入
C欄：累積本金
D欄：本期利息
E欄：累積總額
公式：E欄 = (D欄+B欄)*(1+利率)
Q9. 每月複利怎麼計算？
每月複利計算需要將年利率轉換為月利率：
公式轉換：
月利率 = 年利率 / 12
期數 = 年數 × 12
終值 = 本金 × (1 + 月利率)^總月數
FV = P × (1 + r/12)^(n×12)
實例1：一次性投入 + 月複利
條件： 本金50萬、年利率6%（月利率0.5%）、期間10年（120個月）
計算：
- FV = 500,000 × (1.005)^120
- 結果：909,698元
- vs 年複利：895,424元
- 差異：月複利多賺14,274元
實例2：定期定額 + 月複利
條件： 每月投入1萬元、年利率8%（月利率0.667%）、期間20年（240個月）
公式：
- FV = 10,000 × [((1 + 0.08/12)^240 - 1) / (0.08/12)]
- 結果：約589萬元
計算要點：
- ✅ 年利率要除以12
- ✅ 年數要乘以12
- ✅ 複利次數越頻繁，最終金額略高
- ⚠️ 實務上差異不大，除非本金很大
Excel公式：
=FV(年利率/12, 年數*12, -月投入, -初始本金, 0)
範例：=FV(6%/12, 10*12, 0, -500000, 0)
Q10. 複利計算適用貸款嗎？
是的！貸款同樣適用複利計算，了解複利陷阱可幫你省下大筆利息：
常見貸款複利場景：
1. 房貸複利計算
- 本息攤還：每期繳固定金額（本金+利息）
- 複利效應：利息同樣滾入本金計算
- 實例：
- 貸款1000萬、利率2%、30年
- 總還款：約1331萬
- 利息支出：331萬（相當於再買1/3間房！）
2. 信用卡循環利息
- 年利率：通常10-15%
- 計息方式：日複利（最恐怖！）
- 實例：
- 欠款10萬、年利率15%、只繳最低(10%)
- 若不再消費，需 14年 才能還清
- 總還款約19萬（多付9萬利息！）
3. 車貸複利計算
- 實例：
- 貸款80萬、利率4%、5年
- 總還款：約88.5萬
- 利息支出：8.5萬
提前還款節省試算：
- 房貸提前還10萬，可省下約13萬利息（以2%、剩20年計）
- 信用卡債務應優先清償（利率最高）
防範複利陷阱：
- ✅ 信用卡全額繳清，避免循環利息
- ✅ 房貸有閒錢可考慮提前還款
- ✅ 避免借高利率貸款
- ✅ 債務整合降低利率
Q11. 複利計算有哪些免費工具？
推薦以下免費複利計算工具：
🌐 線上計算機（免安裝）
1. Tool Master 複利計算器 ⭐推薦
- 特色：100%本地計算、隱私保護、中英文
- 功能：一次性/定期定額/現值計算
- 立即使用
2. Excel免費模板
- 4合1模板包（基礎/定期定額/退休規劃/投資追蹤）
📱 手機App
1. 複利計算器 Pro（iOS/Android）
- 評分：4.5星
- 特色：圖表視覺化、多方案比較
2. 投資計算機（iOS）
- 評分：4.7星
- 特色：整合股票/ETF/基金計算
3. 理財計算器（Android）
- 評分：4.3星
- 特色：貸款/投資/退休一站式
💻 桌面軟體
- Microsoft Excel - FV/PV函數
- Google試算表 - 同Excel功能
- LibreOffice Calc - 免費替代方案
🧮 實體工具
- 財務計算機：HP 12C, TI BA II Plus
- 工程計算機：CASIO fx-82, fx-991
選擇建議：
- 快速試算 → 線上計算機
- 深度規劃 → Excel模板
- 隨時查看 → 手機App
- 專業理財 → 財務計算機
Q12. 高中數學的複利計算怎麼解？
高中數學的複利計算通常結合等比數列概念：
核心概念：
- 複利本質 = 等比數列
- 首項 = 本金 P
- 公比 = (1 + r)
- 第n項 = P × (1+r)^(n-1)
- 第n年終值 = P × (1+r)^n
典型題型1：基本複利計算
題目： 小明存入10萬元，年利率5%，複利計息，10年後有多少錢？
解答：
FV = 100,000 × (1.05)^10
= 100,000 × 1.62889
= 162,889元
典型題型2：反推期數（使用對數）
題目： 本金翻倍需要多少年？（年利率8%）
解答：
2P = P × (1.08)^n
2 = (1.08)^n
log 2 = n × log 1.08
n = log 2 / log 1.08
n ≈ 9年
典型題型3：反推利率
題目： 10萬元投資15年變成20萬，年利率是多少？
解答：
200,000 = 100,000 × (1+r)^15
2 = (1+r)^15
1+r = 2^(1/15)
r = 2^(1/15) - 1
r ≈ 4.73%
典型題型4：定期定額（等比級數）
題目： 每年初存入5萬元，年利率6%，10年後總金額？
解答：（使用等比級數和公式）
FV = 50,000 × [(1.06^10 - 1) / 0.06] × 1.06
≈ 69.9萬元
學測/指考常見考點：
- ✅ 等比數列首項、公比識別
- ✅ 對數計算期數
- ✅ 等比級數求和（定期定額）
- ✅ 實務應用題（退休規劃、貸款）
解題技巧：
- 畫時間軸圖釐清本金/終值
- 善用72法則快速估算
- 記住log公式：n = log(FV/PV) / log(1+r)
結論：善用複利，讓時間成為財富的好朋友
複利計算的核心心法
經過這篇完整攻略，你已經學會了複利的所有核心知識：
- 理解原理：複利就是「利滾利」，時間越長威力越大
- 掌握公式：一次性投入、定期定額、現值計算三大公式
- 善用工具：線上計算機、Excel、App、實體計算機
- 實戰應用：投資理財、貸款規劃、退休金準備
立即行動的三個建議
1. 立即試算你的投資計畫
- 打開 複利計算器
- 輸入你的本金、預期報酬率、投資年數
- 看看未來能累積多少財富
2. 制定長期投資策略
- 選擇適合自己的投資標的（0050、VT、高股息ETF等）
- 設定每月定期定額金額
- 配息選擇「再投入」，發揮複利最大效果
3. 及早開始，持續堅持
- 記住：25歲開始每月投1.5萬，等於40歲開始每月投6.5萬
- 時間是複利最好的朋友
- 越早開始，負擔越輕鬆
下一步行動
如果你經常需要處理複利計算，建議：
💡 最後提醒
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參考資料
- 《複利的力量》（The Power of Compounding），投資理財經典著作
- 台灣證券交易所，0050 ETF 歷史報酬率統計（2003-2024）
- 美國標準普爾500指數歷史數據（S&P 500 Historical Returns）
- 中央銀行，台灣定存利率歷史統計
- Excel 財務函數官方文件（Microsoft Office Support）
- 《漫步華爾街》（A Random Walk Down Wall Street），Burton G. Malkiel
- 巴菲特年度股東信（Berkshire Hathaway Annual Letters）